上記を示します。

自然数 n に対して、全ての桁の数が 1 である数字（これを レプユニット と言います）を以下のように n+1 種類考えます。

1
11
111
1111
11111
  …
111...11        ← n+1 桁
                            

　このそれぞれを n で割った余りを考えます。余りは 0,1,2, …, n-1 のn種類のいずれかになりますから、鳩の巣原理で、この n+1 種類のレプユニットのうち余りが同じペアが少なくとも1組はあるはずです。そのうち、大きいほうから小さいほうを引くと、111...1100...0 となって、これは 1と0だけから成る数で n の倍数になります。

　たとえば n=7 で考えてみます。

            桁数        7で割った余り
1           (1)         1
11          (2)         4
111         (3)         6
1111        (4)         5
11111       (5)         2
111111      (6)         0
1111111     (7)         1
11111111    (8)         4
                            

　これだとダイレクトに 111111 が 7の倍数でしたが、同じあまりの２つのレプユニットを引き算すると7の倍数になっています。