問題の解答

問1 　あるお城にはすべて同じ大きさの四角い部屋が８×８に並んでいて、外周を除くどの壁にもドアがついていて、隣の部屋には自由に行き来できます。また床はすべて白く塗られています。毎朝ペンキ屋が城の中を歩き回り、訪れた部屋が白い床なら黒く、黒い床なら白く塗っていきます。（入った部屋の色を変えないで出て行ってはいけません。） 　城の外周にもすべてドアがあったとして、この城の床をチェス盤のように白黒の市松模様にすることはできるでしょうか？ 　また、もしも外周にはドアが１箇所しかなかったとしたらどうでしょう？　ドアの位置は４通り考えられますが、そのそれぞれの場合においてチェス盤のように塗ることは可能でしょうか？　（ペンキ屋は最後は城の外に出ていなければいけません。）

図1		図2		図3

　外周にも全てドアがついている場合は、まず図1のように1行おきに通り抜けて縞模様を作ります。続いて図2のように直交する方向にやはり1列おきに通り抜けると市松模様になります。

　外周に1箇所しか出入り口がなくても市松模様にすることができます。ある目的地の部屋Aを任意に決めます。入り口から入って部屋Aまで行って、同じ道を帰ったとします。すると部屋Aだけが色が反転し、あとの全ての部屋の色は元に戻ります。ですから、「通過した部屋の色を反転させる」というルールで、任意のパターンを描くことができます。

問2 　平面が２色に塗られています。同じ色で塗られている１メートル離れた２点があることを示しなさい。

　1辺が1mの正三角形を考えます。平面がどのように塗り分けられていたにせよ、この正三角形の頂点のうち、少なくとも2つは同じ色のはずです。（たとえば2色が白と黒だったとすると頂点の3点の組み合わせは、 　白・白・白、　白・白・黒、　白・黒・黒、　黒・黒・黒　の4通りしかありえません。） とすると、その2点がちょうど1m離れた同じ色になりますから題意を満たします。

　別解：ある1点に注目し、その点を中心とした半径1mの円を考えます。もし円周上に中心と同じ色の点が１つでも存在すれば、その点と中心が条件を満たします。もし円周上には中心と同じ色の点が１つもなければ、円周は1色で塗られているということですから、たとえばその円に内接する正六角形の頂点を考えると、その隣接する2点が条件を満たすことになります。

問3 　ゆで卵の時間を計るエッグタイマーが２つあります。１つは７分、もう１つは１１分を知らせてくれます。今、卵を１５分間ゆでたいのですが、この２つのタイマーだけを使ってどうやって計ればいいでしょう？

　タイマーを２つ同時にスタートし、7分が経過した瞬間に卵をゆで始めます。4分後に11分タイマーが終了しますので、ただちに11分タイマーを再スタートします。