黄金矩形、黄金分割

 
黄金分割（黄金矩形）について
　　一つの線分を外中比に分割すること、ほぼ１：１.６１８となる。これを黄金比と言う。
    外中比＝ある量が大小に二分され、その小さい部分と大きい部分との比が、大きい部分と全
　　体との比に等しいとき、その両部分の比が黄金比となる。

１、ある正方形を黄金比に外比分割する場合の作図
    正方形ＡＢＣＤの辺ＡＢの中点ＥとＣＤの中点Ｆを求め、正方形ＡＢＣＤの二等分線ＥＦを
    引く。Ｆを中心として対角線ＦＢを半径とした円を描き、線分ＤＣの延長線上との交点をＧ
    とする。ＧからＡＢの延長線上に垂線を引き、その交点をＨとする。長方形ＡＨＧＤが外比
    分割された求める黄金矩形である。
 
                                ［証明］

 ＢＨ：ＡＢ＝ＡＢ：ＡＨ・・・・・・・（１）を証明する。
 正方形ＡＢＣＤの一辺を２と仮定すると
 ＢＨ＝√５ー１,   ＡＢ＝２,   ＡＨ＝√５＋１,
 （１）式を証明するために
 ＡＢ・ＡＢ＝ＢＨ・ＡＨ  となればよい。
 左辺＝ＡＢ・ＡＢ＝２×２＝４・・・・・・・・・・・（２）
 右辺＝ＢＨ・ＡＨ＝（√５ー１）・（√５＋１）
     ＝５ー１＝４  ・・・・・・・・・・・・・・・・（３）
 よって（２）＝（３）、左辺＝右辺となり（１）式が成立し
 長方形ＡＨＧＤは黄金矩形である。

２、ある正方形を黄金比に内比分割する場合の作図
    正方形ＡＢＣＤの辺ＡＢの中点ＥとＣＤの中点Ｆを求め、正方形ＡＢＣＤの二等分線ＥＦを
    引く。Ｆを中心としてＦＤを半径とする円を描き対角線ＦＡとの交点をＧとする。次に、Ａ
    を中心として半径ＡＧの円を描き、線分ＡＢとの交点をＨとする。Ｈから線分ＤＣに垂線を
    おろしその交点をＩとする。長方形ＡＨＩＤが内比分割された求める黄金矩形である。
   
　                               ［証明］

 ＨＢ：ＡＨ＝ＡＨ：ＡＢ・・・・・・・・（１）を証明する。
 正方形ＡＢＣＤの一辺を２と仮定すると
 ＨＢ＝２ー（√５ー１）,   ＡＨ＝√５ー１,   ＡＢ＝２
（１）式を証明するために
 ＡＨ・ＡＨ＝ＨＢ・ＡＢ　となればよい。
 左辺＝ＡＨ・ＡＨ＝（√５ー１）・（√５ー１）
     ＝５ー２√５＋１
     ＝６ー２√５＝２（３ー√５）・・・・・・・・・・（２)
 右辺＝ＨＢ・ＡＢ＝｛２ー（√５ー１）｝×２
 　　＝４ー２（√５ー１）＝４ー２√５＋２
     ＝６ー２√５＝２（３ー√５）・・・・・・・・・・（３）
 よって（２）＝（３）、左辺＝右辺となり（１）式が成立し長方
 形ＡＨＩＤは黄金矩形でる。