以前の「ひとこと」　：　2015年4月後半

4月16日(木)　板状パーツを正八面体骨格に組む(その1)

　以前から、正八面体の骨格の構造を、紙の筒で組んでみたいと思っていました。

図 1	図 2

　普通に考えるとパーツ４つがかみ合うので(図1)、ジョイントが複雑になります。そこで図2のように少しパーツを回転させてジョイントの構造をシンプルにすることを考えてみました。

図 3	図 4

　問題は、この構造だと内側に外れてしまいそうだ、ということです。でも、とりあえずパーツを設計して組んでみることにしました。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　先日のお休みの日に、妻にチェンバロで伴奏してもらって久しぶりに２時間ほどフルートソナタを練習しました。オトテールのop.2-3とop.5-3をやって、C.Ph.E.バッハのソナタを3曲、D-durとG-durとe-mollをやって、ヘンデル(e-moll)を1曲やって、デヴィエンヌを1曲、第１楽章だけやって、けっこう疲れましたが楽しかったです。

4月17日(金)　　板状パーツを正八面体骨格に組む(その2)

　昨日のモデル、作ってみました。なかなかむつかしくて、これは３回目の設計なのですがうまくいきませんでした。

図 1	図 2
図 3	図 4

　接着剤に頼らないと、崩壊してしまいます。美しくありません。早朝の薄暗い時間に撮っているので写真もひどいですが、撮り直す気にならないので、このまま載せます。要検討です。

＜おまけのひとこと＞
　会社の職場の方から、長野県伊那文化会館小ホールで、4月19日(日)14時から「ステキな11人組によるちょっと素敵なコンサート」に出演しますという案内をいただきました。行ければ行きたいですが、ちょっと厳しいかな…

4月18日(土)　板状パーツを正八面体骨格に組む(その3)

　4月16日のひとことで、下図左のかたちを考えてみましたが、発想を変えてこんなかたちを考えてみました(図1)。

再掲図	図 1

　４本を井桁状に配置します。それぞれの色のパーツだけを描画してみました(図2〜図4)。

図 2	図 3	図 4

　gifアニメーションも作ってみました。

図 5

　これを見ていたら、まずはパーツの厚みを考えないで、細長い紙のカードにスリットを入れて組んでみたくなりました。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　いつものように4/18〜4/24の一週間分の更新です。
　先週はとても大変でした。(最近こればっかり書いているような…)

4月19日(日)　12枚の細長い長方形を組む

　昨日のかたちを長方形にスリットを入れたもので組み立ててみました。

図 1

　スリットはこんな風に(図2)入れました。これを12本用意します。

図 2

　最初に、長方形の中央部のスリットを使って３本を図3のように組みます。これを４組用意します。

図 3

　この４組が、正四面体の面の関係になるように、パーツ両端のスリットを利用して組みます。出来上がったかたちを対称性が高い方向から見てみました(図4〜図6)。

図 4	図 5	図 6

　なかなかきれいな形になったかなあと思います。これを見ていたら、ずっと昔に作ったモデルのことを思い出しました。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　5月の連休は、最終日の5月6日に仕事が入ってしまいました。5月4日は東京に行く予定です。

4月20日(月)　正三角形の輪を４つ組む(再掲)

　2002年8月8日のひとこと(13年前です)で、正三角形の輪の辺の中心にスリットを入れて４枚を立体的に組むというモデルを公開していました。今回作っている12枚組は、基本的にはこれと同じ構造でした。

再掲図1	再掲図2	再掲図3

　当時もCGをご紹介していましたが、４つの三角形に色を付けてみました(図1、図2)。

図 1	図 2

　今回作ってみたものは、そもそも正八面体の稜の構造から出発していたのですが、思いがけないかたちと同じ構造だったということがわかって面白かったです。

＜おまけのひとこと＞
　ときどきは過去のページも見直さないと、前に書いたことをもう一度書いてしまいそうです。

4月21日(火)　ノートルダム寺院のペーパーモデル

　先日、実家に帰省した時に、母から「(あなたが)好きそうだと思って」と言って、ノートルダム寺院のペーパーモデルのキットをくれました。

　パーツ数もそれほど多くなく、カット済みのパーツを手で切り離して折り目を付けて、スリットに差し込んで組み立てるだけでできるキットでした。

　説明文も簡潔で、“First bend ALL folds. With blank side facing it's easier to see all the folds. Gently loosen cuts between thumbs and forfingers. Now follow the numbers in order.”(最初に全部折り曲げなさい。印刷されていない側から見たほうが折り目がわかりやすいです。親指と人差し指でやさしく切り離しなさい。そうしたら番号順に組みなさい。) としか書いてありませんでした。慣れていない人には難しいかもしれません。

図 1

図 2

　30分ほどで組み立てることができました。楽しかったです。建物の雰囲気をちゃんと表現しながら、パーツも少なくてシンプルなモデルで、良いデザインだと思いました。

＜おまけのひとこと＞
　平日には仕事以外の時間が全く取れないのですが、そのおかげで(?)週末には作りたい模型のアイディアがどんどん出てきます。学生時代に試験前になると普段は面倒で放ってある難しいパズルを解きたくなったり、なぜか部屋の掃除をしたくなったりしたものですが、それと同じで忙しい時ほど他のことがやりたくなる心理かなあと思っています。だとすると忙しいことも役に立っているのでは？と妻に指摘されました。確かにそうかもしれないなあと思いました。

4月22日(水)　スヌード

　今年のお正月に妻と母と行ったレストランが、入り口に小さな雑貨ショップのコーナーがあって面白かったので、先日また行ってみました。冬物が割引になっていたのですが、その中に面白い構造のスヌードがありました。

図 1

　構造がわかりやすいようにと思って撮ってみた写真です。長方形の両端に取っ手のように２つの穴が空いていて、その穴が鎖のように絡まっている構造です。

　これを見ていたら、この構造がわかりやすいペーパーモデルを作ってみたくなりました。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　私はそもそも「スヌード(snood)」という単語を知りませんでした。妻に教えてもらって初めて知りました。

4月23日(木)　絡んだ構造のスヌードのペーパーモデル

　昨日ご紹介したスヌードの構造をペーパーモデルにしてみました。

図 1

　昨日の写真の向きに近い視点です。穴を大きくして、基本的には直角で構成することにしました。

図 2	図 3

　図2、図3はななめから見たところです。型紙は載せませんが、ひとつながりの型紙です。接着しなくても安定するように設計しましたが、一応接着しています。かたちが理解できて満足です。

＜おまけのひとこと＞
　これを書いているのは4/18(土)なのですが、4/20〜4/24の週は予算見直し、昨年度のまとめと今年度の計画の報告、外部監査など大変な仕事が目白押しで、この週末(4/18〜4/19)にいろいろ準備をしなければなりません。週末に前の週の残務を片づける時間がだんだん長くなってきました。

4月24日(金)　2つの四角柱の相貫体

　四角柱２本の交差について、いろいろ考えてみています。今日は適当に決めた角度で交差している２つの四角柱のモデルをご紹介します。

図 1

　垂直に立てた四角柱の筒に、もう１本の四角柱が刺さっています(図1)。

図 2	図 3

　四角柱は糊付けしています。図2は２つを分解したところです。片方(画面の奥側)はどこにも切り欠きのない四角柱の筒で、もう片方(手前)は四角い穴をあけてあります。図3は貫いている四角柱の内側を見ています。

図 4

　図4は刺さっている四角柱を引き抜いて、平らに畳んでいるところです。このかたちも面白いです。

＜おまけのひとこと＞
　作ってから「立方体を通り抜ける立方体」のモデルにすればよかったなあと思いました。

4月25日(土)　3種類の三角形によるデルタ六面体(その1)

　今週末(4/25)からゴールデンウイークになる方もいらっしゃるのでしょうか。私は基本はカレンダー通りのお休みですが、最終日(5/6)は休日出勤かもしれません。昨日(4/24)の夕方5時半頃、勤務先事業所から別の事業所に高速道路で移動したのですが、高速バスのバス停はバスを待っている人で混雑していました。

　今週、来週はお休みが多いので、１週間まとめての更新ではなく、今日からしばらくはこまめに更新してみようかなと思っています。

○

　こんな三角形を考えてみてください(図1)。

図 1

　左から、正三角形、直角二等辺三角形、直角三角形になります。ここに登場する辺の長さは３種類です。

　この３種類の三角形だけを使って多面体を作ることを考えます。３種類、必ず使うことにします。大きさを変えてはいけません。どんなかたちができるでしょうか？

　出来上がりの多面体には、√3の稜が必ず１本はあるはずです。その稜の両側の面は、図1右の直角三角形になります。なので図1右の直角三角形は少なくとも2枚は必要です。こうやって考えてみると、図1の３種類の三角形２枚ずつでできる６面体が、面の数が最小の多面体になることがわかります。

　さて、３種類の三角形２枚ずつでできる６面体の１つの展開図の例を図2のように作ってみました。

図 2

　これ、どんなかたちになるでしょうか？　他の展開図も考えられるでしょうか？

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
こんなことばを教えてもらいました。

君ができるすべての善を行え
君ができるすべての手段で
君ができるすべての方法で
君ができるすべての場所で
君ができるすべての時に　
君ができるすべての人に
君ができる限り


原文は英語で、
Do all the good you can, By all the means you can, In all the ways you can, In all the places you can, At all the times you can,　To all the people you can, As long as ever you can.

だそうです。英国の神学者のジョン・ウェズリーのことばだそうです。心に残りました。

4月26日(日)　ありがとうKei

　昨日の、３種類の三角形による多面体の話の続きを書く予定だったのですが、急遽別の話題です。

○

　今まで乗っていたSUZUKIのKeiという軽自動車が、昨日動かなくなってしまいました。

　昨日(4/25)は息子が通う高校の学校公開と参観日でした。朝から家族で車で出かけました。最初に息子を高校でおろして、私と妻は車を駐車してから改めて高校に徒歩で向かいました。住宅地の中を歩いて学校に着くと、学校見学の中学生がたくさん来ていました。

　息子のクラスの授業(英語でした)をきいて、いったん学校を出て妻と昼食を済ませた後、家内は学校のPTAの総会に出席すべく高校に戻り、私は別の用事があったので、車で学校を離れました。

　とある交差点を過ぎて、普通にギアチェンジしようと思ってクラッチペダルを踏み込んだら、「バキッ」というような音がして、クラッチペダルが全く重さを感じられない、スカスカな状態になってしまいました。20メートルくらい先の左手にセブンイレブンがあったので、ギアをニュートラルにして、惰性でセブンイレブンの駐車場に入って、あいていた区画に車を止めました。

　改めてエンジンをかけてみました。私の車はマニュアル車なのですが、クラッチペダルを踏み込まないとそもそもセルモーターが回りません。全く手ごたえのないクラッチを踏み込んでキーを回すとエンジンはかかります。その後でギアを入れようとすると、車がガクンと動くショックがあってエンストして止まってしまいます。クラッチペダルを踏み込んでも、クラッチがつながったままになっているようです。

　最初にディーラーに連絡して状態を伝えました。トラブルが発生したのは自宅から60kmほど離れたところだったのですが、契約している任意保険の内容を確認して、可能ならディーラーまで故障した車を運んでほしい、難しければ近くの系列店に運んでもらってくれ、とのことでした。

　次に、加入している任意保険の会社に連絡ました。180kmの距離までは自己負担なしで運んでもらえるという契約だということがわかったので、ロードサービスに電話をして状況を伝えました。電話は混み合っていてなかなかつながりませんでしたが、連絡がついて、15分ほどで車を取りに来てもらえました。(待っている間にちょっと買い物もして、事情を話して1時間ほど車を置かせてくださいとお願いして、快諾いただけました。)

　ディーラーに到着して車を見てもらったのですが、やはりクラッチワイヤーがどこかで切れているのではないかということでした。もともと前回の点検でクラッチはだいぶ減っていて、いつ車が走らなくなるかわからないと言われていたのですが、ここでクラッチワイヤーを交換しても、その後どんな故障が出てくるかわからないし、あとどのくらい走れるかわからないと言われました。

　実は3月末に次の車を契約していて、本来は4月末の納車の予定だったのが、今現在は6月末くらいになりそうということでした。契約の際、今の車がかなり走行距離が長くていろいろ不安なので、何かあったら代車を出してくださいということで話がついていました。今回、お店のほうで最初は修理を勧められたのですが、今回のようなトラブルが高速道路走行中とかに起こるととても怖いので、やはり代車をお願いしたい旨話をしました。

　実はこの連休中に、この車での最後の長距離ドライブをしたいなあと思って、行先を検討していました。思いがけず突然の別れになってしまいました。それにしても天気の良い休日の午後、誰も同乗者がおらず、時間の余裕もたっぷりあるタイミングで、ちゃんと安全に車をとめられるところで壊れてくれて本当に運が良かったと思いました。事故も起こらず、誰かに迷惑もかけず、けがをする人も出ず、車以外には何も損害もなくて済みました。最期までいい車だったなあと思っています。

　同じ車が新車で手に入るなら、迷わずもう一度選びたい車でした。5速マニュアルの四輪駆動のターボ車で、車体重量も軽くて、速く走ろうと思えば速いし、燃費効率よく走ろうと思えばそのように走ることもできました。カタログスペックはリッター20km走るのですが、最近でこそリッター20kmは走らなくなっていましたが、今までの最高記録は満タン法でリッター26kmでした。(24リッター給油した際に625km走っていました。タンク容量は30リッターなので、そもそもカタログ航続距離600kmを超えています。)　

　先月末、次の車を契約した後で、会社の駐車場で写真を撮ってありました。今年の9月でまる7年になるところで、走行距離は16万4千キロくらいでした。この車でいろいろなところに行きました。娘が大学進学で引っ越したときの荷物も運びました。私の1.8メートルあるスピネット(小型チェンバロ)を載せて戸隠に演奏旅行に行ったこともありました。休日の高速道路料金が上限1,000円だったころには関西のほうにも出かけました。

2015年3月31日撮影

　Kei、今までありがとう。

＜おまけのひとこと＞
　山道を走行中とか、子供を受験会場に送ってゆく時とか、そんな時にトラブルがあったらそれこそ大変でした。仕事で大切な会議がある日の朝とかでもとても困ったと思います。もちろん故障せずに終われば一番よかったですけれども、今回は本当に不幸中の幸いでした。
　保険屋さんもロードサービスの方も、セブンイレブンの店員さんも皆さんとても親切でした。ありがたいなあと思いました。

　故障してしまったときの車の状況や現在位置の連絡、車両故障時の任意保険の適用範囲の確認、車が使えなくなったことによって発生した交通費の精算方法、代車を借りた場合の保険の適用についてなど、各所にいろいろな電話をしまくって、とても大変でした。やっぱり余裕をもって車を乗り換えていかないと大変だな、というのが今回の教訓です。

4月27日(月)　3種類の三角形によるデルタ六面体(その2)

　ここ二週間ほどは平日も自宅に帰れる日が多いものですから、できるだけ毎日更新するようにしています。今日は一昨日の話、３種類の三角形による多面体の話の続きです。

　辺の長さが1:1:1の正三角形、1:1:√2の直角二等辺三角形、1:√2:√3の直角三角形２枚ずつで多面体を作る展開図をご紹介しました。同じ展開図から作れる２種類のかたちを作ってみました(図1、図2)。

図 1

図 2

　一昨日にご紹介した展開図(「のりしろ」はつけませんでした)のうち、図3の左側のように組み立て始めると図1、図2の左側のかたちになりますし、図3の右側のように組み立て始めると、同じく右側の平たいかたちになります。

図 3

　この２種類のかたちがどんな立体なのか考えてみました。模型を作ってみると、右側の平たいかたちは、写真では見えない面になっている斜辺が√3の直角三角形の２つの面は同時には床に接しないようでした。どのくらいの角度なんだろう？と思って計算してみることにしました。

　今回の図3の展開図は、東邦大学理学部の多面体の展開図と未解決問題というページを参考にさせていただきました。ありがとうございました。(同じ内容が雑誌「数学セミナー」の記事になっていたという記憶があるのですが、見つけられませんでした。)

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　新しい車が納車されるまでの約2か月間は、ディーラーで用意をしてもらった代車を使わせてもらうことになりました。ご用意いただいたのはスズキのスペーシアでした。まだ1,000kmくらいしか走っていない新車です。オプション類はほとんどついていなくて、カーラジオすらありません。ドアバイザーもありませんでした。馬力は52PSで、車体重量は890kgです。とにかく中が広くて驚きました。自分では選択しない車種ですが、楽しく乗らせていただきます。
　ETCが無いのがちょっと辛いかな…

4月28日(火)　3種類の三角形によるデルタ六面体(その3)

　4/25(土)から、思い立って毎朝の更新を復活してみています。ただし連休明けからは普段のペース(週末に一週間分をまとめて更新)に戻る予定です。

　さて、昨日の平たいかたちのほうの頂点がどこにあるのか、計算してみることにしました。

　1:√2:√3の直角三角形ABCに対して図1のように座標系を設定して、正三角形と直角二等辺三角形が作る頂点Pの座標を計算してみました。

図 1

　PA=PB=PC=1なので、計算してみるとPの座標は(1/2,1/√2,1/2)となりました。あれ？　ということはPは辺ACの中点の真上にあることになります。実は、図2のように考えるとこれは当たり前で、辺ABを共有する直角二等辺三角形をABで折り返してみると、頂点は必ずABの垂直二等分面上にありますし、同様に辺BCを共有する正三角形を辺BCで折り返すことを想像すると、頂点はBCの垂直二等分面上にあることになります(これは図1で最初から仮定しました)。

図 2

　この四面体の見取り図を描いてみました(図3)。三角形PACは頂角が120°の二等辺三角形になります。

図 3

　なので、昨日の右側のモデルは、六面体ではなくて五面体(四角錐)ということになります。

図 4

　いい加減な模型を作るとだまされるということがよくわかります。平面幾何ではいい加減な図を描くとだまされる場合がありますが、立体で模型を作るときも気を付けないといけません。でもこのかたちを作ってみて楽しかったです。

○

　身の回りには辺の長さの比が1対√2の長方形がたくさんあります。この長方形の短いほうの辺の長さを1として、長方形を底面として長方形の中心(対角線の交点)の上の高さ1/2の点を頂点とする四角錐を考えます(図5)。

図 5

　そうすると、この四角錐の側面の４つの三角形のうち、2つは正三角形で、2つは直角二等辺三角形になります。

　さらに、図5の四角錐を２つ、長方形の面で貼り合わせると、図6の八面体になります。

図 6

　正確なかたちを見たくなって、CGにしてみました。

図 7

　正三角形４面、直角二等辺三角形４面から成る八面体です。12本の稜のうち、長さ1のものが10本、長さ√2のものが2本です。このかたちも面白いです。

＜おまけのひとこと＞
　昨日は代車のスペーシアで高速で通勤してみました。速度は出ませんが、それなりに安定して走ってくれて、改めて最近の軽自動車はよくできているなあと感心しました。
　ETCがついていないので、料金所で現金精算しました。油断するとETCレーンに進入してしまいそうです。行きも帰りも料金所の係の方の対応がとても気持ちが良くて、ちょっと驚きました。最近は料金所を利用する車は少ないからでしょうか。

4月29日(水)　正三角形と直角二等辺三角形による八面体(その1)

　昨日作ったCGを見て、実物を作ってみたくなったので、設計して作ってみました。正三角形4枚と直角二等辺三角形4枚による二重四角錐です。

図 1

　左側が、1対√2の長方形を底面に、正三角形と直角二等辺三角形を交互に側面として配置した四角錐を２つ貼り合わせたかたちで、右側は正三角形２枚と直角二等辺三角形２枚が側面になっている、底面が凧形の四角錐を２つ貼り合わせたかたちです。今回は帯を編む手法にしました。

図 2

　図1の左のモデルは、図2の帯とその鏡像の２本を編んで作りました。図1右のモデルは、図3のパーツを２本(これは対称なパーツなので、鏡像が自身と重なるため、同じパーツ2つでOKです)で編みました。

図 3

　実物を作っていろいろな方向から眺めてみていると、いろいろなことに気が付きます。たとえば、図1左のモデルは合同な四角錐に分割できる面が３面あって、その断面は１つは長方形、残りの２つは菱形です。図1右のモデルは分割面は２つしかなくて、一つは凧形、もう一つは菱形です。なので、この２つの多面体は見かけは全く異なりますが、特定の方向(菱形の断面が見える方向)から見ると、区別がつきません(図4)。

図 4

　やっぱり立体は作ってみていじってみるといろいろ気付くことがあって面白いです。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　4月は雪が降った日があったかと思えば、夏日になったりして、寒かったり暑かったり大変です。
　借りている代車(スペーシア)、少しずつ乗り慣れてきました。借りたときには約1,100kmくらい走っていて、これまでの平均燃費(1リットルあたりの走行距離)が16.3kmくらいでした。その後250kmくらい走って、今は平均燃費が17.1kmくらいに伸びています。単純に計算すると、ここ250kmを11.5リッターのガソリンで走っているということになるので、私が運転を始めてからはリッター21.8kmくらいで走っていることになります。カタログではリッター26km走ることになっているのですが、ここまでの数値を出すのはなかなかむつかしそうです。

4月30日(木)　シルエット錯視

　正三角形と直角二等辺三角形から成る多面体の話はちょっとおいておいて、今日は単発の話題です。

　以前netで話題になったシルエット錯視という錯視があります(リンクはwikipediaです)。女性ダンサーが片足を軸に回転しているのですが、右回り、左回りのどちら回りにも見えるというシルエットのアニメーションです。

　この錯視は単純な幾何学図形などでも現れます。試しに正十二面体の骨格でアニメーションを作ってみました。

　ちょっと「ゆっくり」すぎたかもしれません。どちら回りにも見えるはずです。右方向に動いている部分と、左方向に動いている部分があります。そのうちどちらが手前にあると考えるかによって、回転方向が決まります。

＜おまけのひとこと＞
　月末なので簡単な更新です。明日(5/1)の朝は更新ができない可能性が高いですが、今日は4月30日一日分のみの更新にします。
　八ヶ岳リゾートアウトレットに久しぶりに行ったのですが、久世福商店のアウトレットショップで、この辺ではなかなか手に入らない九州の甘口醤油とか、大瓶のラー油とかを安く買うことができてうれしかったです。