以前の「ひとこと」 : 2014年7月前半
7月5日(土) ツートンカラーの立方体
ちょっと探し物をしていて、パズルとかブロックとかが入っている引き出しを見ていたら、こんなブロックが出てきました。
写真 1 写真1には4つの立方体が写っています。これはいずれも同じかたちで、90度ずつ回転させて、四つの側面が見えるように並べました。カッティングマットに接している面は全面が黒です。この、4つの合同なツートンカラーの立方体を並べて、いろいろな模様を作って遊ぶ、というのが趣旨のようです。
写真 2 写真 3 実はこれ、いつどこでいくらで買ったのか、記憶があやふやです。おそらく八ヶ岳アウトレットのボーネルンドで買ったのだと思うのですが、説明書等も無くしてしまって、名前もわかりません。
実はこの立方体、白と黒の2つの合同なパーツに分かれるのです。それぞれのピースはどんなかたちになるか、わかりますか?
<おまけのひとこと> (来週につづく)
すみません、最近は週末に更新するのが精一杯です。
7月6日(日) 蛍光灯の交換
今日は普通の日記です。
リビングの蛍光灯がだいぶ暗くなってきたので、交換することにしました。長さ120cmの40Wが2本です。また、地下室の蛍光灯もかなり点灯に時間がかかるようになってきたので、あわせて交換することにしました。こちらは長さ59cmの20Wが1本の蛍光灯が2か所に設置してあります。
外した蛍光管と点灯管は、交換品を購入する電気屋さんに持っていって、サイズや型番の確認と、引き取りをお願いすることにしています。蛍光管は新聞紙にくるみました。点灯管、どうやって持っていこうかなと思ったのですが、昨夜食べたポテトチップス(チップスター)の空いた紙筒があったので、短く切ってその中に入れてふたをして持っていくことにしました。
写真 1 なんだかちょっとかわいい入れ物になって、捨てるのがもったいなくなってしまいました。
<おまけのひとこと>
先週は息子は試験だったのですが、この週末(7/5,7/6)も来週末(7/12,7/13)も文化祭の準備で学校に泊まるそうです。きっと楽しいんだろうなあと思います。
7月12日(土) 面の数と頂点の数が同じ多面体(その1)
すみません、ツートンカラーの立方体の話は、写真とか図が間に合わないので、今日は別の話題です。
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とある論文でこんな図を見たのがきっかけでした。
図 1 正方形を12のエリアに分割する、4回回転対称の模様です。このかたちを眺めていて、これを多面体の平面グラフだとみると、どんな立体なのかなあと想像してみたのです。(多面体の平面グラフの話は、ずいぶん前ですが2003年9月1日からしばらくご紹介しています。)
この図を多面体だと見なすと、まず、面のかたちと数が気になります。何角形がいくつあるでしょうか。
図 2 図 3 図2は面に番号を振ってみたものです。1番から4番の面が三角形で、残りの5番から13番が四角形になっています。(13番は図の外周の四角形です。)
次に頂点を数えてみました(図3)。あれ、頂点の数も13のようです。この十三面体は面の数と頂点の数が同じなのですね。
さて、面の数と頂点の数が同じ多面体というのは、どんなものがあったかなあと思って、まずは5つの正多面体を思い出してみました。
正四面体 立方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 この中で、正四面体だけが面の数と頂点の数が同じで、自己相対になっています。立方体と正八面体、正十二面体と正二十面体はそれぞれ互いに相対の関係になります。(相対というのは、簡単に言うと面と頂点を入れ替えた関係になっているということです。)
面の数と頂点の数が同じ多面体というのは、ほかにはどんなものがあるでしょうか?
<おまけのひとこと> (つづく)
大学生の娘から連絡があって、使っているパソコンが故障してしまったとのことなのです。メーカーに問い合わせて修理の見積もりをしたら、少なくとも5万円くらいはかかりそうということで、それならば新しいものを購入しようかということになりました。
PCの選定や、最初のセットアップ等を手伝ってほしいということだったので、この週末は急遽東京に来ています。この更新分の内容も娘の部屋で作っているのですが、アップロードは明日になると思います。
7月13日(日) 面の数と頂点の数が同じ多面体(その2)
面の数と頂点の数が同じ多面体の話のつづきです。
多面体のシリーズというと、正多面体(プラトンの立体)、準正多面体(アルキメデスの立体)、デルタ多面体(すべての面が正三角形の多面体)、ジョンソンの多面体(すべての面が正多角形の凸多面体)、角錐・角柱・反角柱とその相対多面体、とかいろいろとあります。そんなものを頭に思い浮かべながら、面の数と頂点の数が同じになるのは…と考えてみました。
すぐに思いついたのは角錐です。底面がN角形のN角錐は、側面の三角形がN個+底面が1つなので、面の数はN+1です。頂点の数は、底面のN角形のN個と、角錐のてっぺんの尖った1つの頂点なので、やはりN+1個です。面と頂点が4つずつの正四面体も三角錐ですから、この一連のシリーズに属します。
図 1 図 2
図 3 図 4 図1は正四角錐(Square pyramid)で図2はその展開図、図3は正五角錐(Pentagonal pyramid)で図4がその展開図です。これらの図はウォルフラムのMathWorldのジョンソン多面体から借用しています。
そのほかにはどんなものがあるでしょうか? 例えば、面がすべて三角形のみ、とか四角形のみ(合同でなくてもよい)という条件で、面と頂点の数が同じになる多面体はあるでしょうか? 例えば四面体は面がすべて三角形ですが、それ以外に三角形だけから成る凸多面体で、面と頂点の数が同じになることはあるでしょうか?
こういうことを考えるときには、オイラーの多面体定理が役に立ちます。(オイラーの多面体定理は私が学生だった数十年前に、中学か高校の教科書に載っていた記憶があるのですが、勘違いかもしれません。)オイラーの多面体定理というのは、
穴のあいていない(球と位相同型な)多面体の頂点の数をV(vertex)、稜の数をE(edge)、面の数をF(face)とすると、
V-E+F=2 が成り立つ
というものです。証明はいろいろなところに載っているのでここには書きません。
これを使って、三角形がa個の多面体を考えます。面の数Fはaです。頂点の数Vもaです。稜の数は、各面ごとに3本ずつ稜がありますが、必ず両側の面で数えてしまうので、稜の数Eは 3×a÷2となります。これをオイラーの多面体定理に代入すると、
V-E+F=2 なので
a - 3a/2 + a = 2
a=4となって、条件を満たすのは四面体以外には存在しないことがわかります。
同様に計算すると、面がすべてN角形だとすると、Nが4以上のときには面数と頂点数が同じになる解がないことがわかります。
<おまけのひとこと> (つづく)
明日の朝、会社で健康診断を受診します。そのため今夜の8時以降は飲食禁止です。