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以前の「ひとこと」 : 2009年7月前半



7月1日(水) ずらし短冊六本組木(その1)

 先月の6月8日に、過去にご紹介したいろいろな短冊組木をざっとご紹介しました。そのときに、今日(から)ご紹介する「ずらし短冊組木」をまだ公開していなかったということがわかって、ちょっとびっくりしました。これも、そのうちいずれ…と思ってしまいこんで忘れていたものです。今日のところはまず写真だけご紹介します。

図 1

 図1は対称性の高い方向からの写真です。この組木構造は、3軸方向にそれぞれ短冊型のパーツがずれて存在していて、そのうち片方とは相手のパーツの中央を貫く位置、もう片方とはパーツの厚みの半分だけ重なっているというかたちになっています。

 このような組木がすでに存在しているのか、知りません。(が、シンプルなかたちなので、おそらくすでに作られているだろうなと思います。) きれいなかたちだと思っています。

図 2

 もう1つ、別な色、別な大きさで作ったモデルの写真です。いかがでしょうか、これがどんなパーツからできているかわかりますか?

(つづく)

<おまけのひとこと>
 昨日ご紹介した簡単な模型、正解(クラインの壷)をメールで送っていただきました。ありがとうございました。






7月2日(木) ずらし短冊六本組木(その2)

 昨日、写真だけご紹介した「ずらし短冊六本組木」の構造ですが、パーツの位置関係を表す図を描いてみました。

図 1

 実際には、まずこの図1の絵を描いてみて、これを見てパーツを設計して組み立てました。

 以前、2008年2月11日から5回にわたって、「ずらし六本組木」というのをご紹介したことがあります。ずらし六本組木には、菱形六面体の鋭角型と鈍角型に相当するような異性体がありました。

鋭角型 鈍角型

 ずらし短冊六本組木にも、全く同じように2タイプが存在しています。CGで描くとこうなります。

図 2 図 3

 昨日の写真と見比べてみてください。

再掲図

(つづく)

<おまけのひとこと>
 今日は法事があります。簡単な更新です。






7月3日(金) ずらし短冊六本組木(その3)

 ずらし短冊六本組木の紹介をしています。2種類のかたちがあるという話をしていますが、この2つのかたちの違いについて、別な説明を試みたいと思います。

 以前、2008年2月20日のひとことで、正方形の柱3本を斜めに並べたものを上下左右前後に交差させるモデルを紹介したことがあります。その写真を図1に載せます。(ここ数日の説明の中で、「鋭角型」が左側になっていたので、写真は左右反転して表示しています。)

図 1

 この2つのモデルに外接する立方体をイメージしてみてください。そして、斜めに並んだ四角柱の底面の中心を結ぶ直線を描いたとしてみましょう。立方体の枠を白、手前側を赤、奥側を青にして図示してみました(図2,図3)。

図 2 図 3

 もともとのモデルと重ねたCGを作ればわかりやすかったのですが、時間の都合で立方体と対角線だけの図でわかりにくくてすみません。左側(図2)は、立方体の1つの頂点に対角線が3本集まっています。そういう頂点が表と裏に2つあります。図3のほうは1つの頂点に対角線が集まることはありません。そのかわり対角線が作る正三角形が2つできています。こうしてみると、この2つのかたちが全く異なるものであり、見る向きを変えても同じにはならないことがよくわかると思います。

 ずらし短冊六本組木も、全く同じ原理で2タイプが存在しているのです。CGをもう一度載せておきます。

 あと、おまけですがパーツ1つのCGを載せておきます。(ちょっとわかりにくくてすみません。)

図 4

 2種類の「ずらし短冊六本組木」のいずれもが、このパーツ6本で組むことができます。「こちらを作ろう」と狙って組み分けるのは慣れないと大変です。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 これを作っている本人(私)は大変おもしろいと思っているのですが、そう思ってくださる方がどのくらいいるんだろう? といささか不安になりながらも、このシリーズはしばらく続きます。週末とか、少しは違う話題も混ぜようかなと思っています。

 昨日の法事は少人数で穏やかに行うことができました。1つ大きな失敗をしてしまって、私が預かったお香典を、礼服のポケットに入れたまま持ち帰ってしまいました。幸い(?)この週末も実家に行くので、そのときに届けたいと思います。






7月4日(土) クラインの壷のペーパーモデル

 以前、2007年5月10日のひとことで『More Joy of Mathematics』という本をご紹介したことがありました。

 その本の213ページに“paper model of the Klein bottle”という記事があって、こんな図が載っていました。

"More Joy of Mathematics"
Theoni Pappas
ISBN:0-933174-73-X
p.213

 クラインの壷というのは、表裏のない片面だけの立体です。この図は直交する平面で作られているので「壷」っぽくないですが、左側の大きな直方体の「入り口」が左の面の中央にあって、右側の取っ手のような部分を通って直方体につながっています。

 先日ご紹介したこの模型は、本の図を見て実際のかたちにしてみたくて設計してみたものでした。この展開図がどんなかたちなのか、考えてみてください。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 3日(金)に、昨年から1年ほど続いたプロジェクトの打ち上げの飲み会がありました。久しぶりに午前零時を回っても外で飲んでいました。私は普段は夜10時〜11時には寝てしまって早朝に起きる生活をしていて、こんなに遅くまで外にいるのは10年以上ぶりくらいでした。






7月5日(日) クラインの壷のペーパーモデル(つづき

 『More Joy of Mathematics』(Theoni Pappas 0-933174-73-X)という本の“paper model of the Klein bottle”という記事を見て作った「クラインの壷」のペーパーモデルの話のつづきです。

 私が考えた「展開図」を載せておきます。


























少し間を空けて

























 「のりしろ」はありません。

図 1

 「取っ手」の部分の内側の面をどうやって連結した展開図として作るか、ちょっと考えました。

図 2 図 3

 組み立て途中の写真です。実は今回は組み立てはここで止めています。中身がどうなっているのか一目でわかるほうが面白いためです。そのうち、透明なOHPシートとかで作ってみようかなと思っています。

<おまけのひとこと>
 今週末は娘の高校の文化祭です。






7月6日(月) クラインの壷とメビウスの帯(その1)

 このところ、紙模型で「クラインの壷」を作る話をご紹介しているのですが、そうしたら、あの「パズル読本」シリーズの著者である秋山久義さんから、こんなメールをいただきました。

 さて、紙製のクラインの壺作品と展開図を拝見したとき、紙なら、クラインの壺が対称形のメビウスの帯2本からなることを視覚的に示すことが容易ではないかと思ったしだいです。

 あの秋山さんからこんなコメントをいただけて感激しています。ありがとうございました。

 これは知る人ぞ知る有名な話なのだそうで、昨日、図を引用した“More Joy of Mathematics”にも、 If the Klein bottle is cut in half along its length, it forms two Moebius strips! (クラインの壷を長さ方向に沿って半分に切ると、2つのメビウスの帯が現れます!) と書かれていました。メビウスの帯は、片面しかなく、縁が1本しかない図形です。メビウスの帯を2本用意して、それぞれ1本しかない縁を貼り合わせるとクラインの壷になるのです。

 そこでまず、昨日までにご紹介した「クラインの壷の紙模型」を真っ二つに切断した模型を作ることにしました。そこで昨日ご紹介した展開図を、ちょうど二等分できるような形になるように変形してみることにしました。

 先週末の土日の更新なので、お読みいただいていない方もいらっしゃるかもしれません。その場合はさきに土曜日の更新から先にお読みいただいたほうが面白いかもしれません。














一応少し間を空けて













 昨日は、こんな展開図を御紹介しました。これは「無駄に広がらない、コンパクトにおさまる」ことを念頭に設計したものです。

図 1

 これをすぱっと二等分するように、考えやすいように少し変形しました。

図 2

 図2の左側に、四角い穴を開けることを意味するグレーの正方形が2つあります。この2つのうち、上のグレーの正方形を含む4×3の長方形の部分を180度回転させて、その下の部分の右か左につなげれば、展開図は完全に上下対称になりますが、そうするととても横長になってしまうので、図2までで留めました。

 この図2に、クラインの壷の完成形を二等分する線を入れると、図3の赤い一点鎖線のようになります。

図 3

 図3を元に、クラインの壷を二等分した紙模型の展開図を作ってみました。

図 4

 クラインの壷を二等分した右半分と左半分が、図4の上下になっています。図3の上の赤い鎖線よりも上の部分を一番下に持ってくることで、あまり横長になりすぎない展開図をつくることができました。

 これを組み立てると・・・

(つづく)

<おまけのひとこと>
 家族が見ていたNHKの日曜美術館で、犬塚勉という画家の作品が紹介されていました(こちら)。10月下旬から1ヶ月ほど、東御市で展覧会があるようです。見に行きたいと思いました。






7月7日(火) クラインの壷とメビウスの帯(その2)

 クラインの壷を紙模型で作って、さらにそれを二分割したものを展開図から設計してみました。今日はそれを組み立てたモデルの写真のみご紹介します。

図 1

 最初に作ったプロトタイプと並べてみたところです。

図 2 図 3

 徐々に間をあけてみると、

図 4

 中はこんな風になっています。

図 5

 今回は「のりしろ」は取らず、紙の縁どうしを直接接着剤で貼り合わせています。ちょっと接合に失敗している部分もあります。

 さて、これらがそれぞれ対称な「メビウスの帯」になっているのがわかりますか?

(つづく)

<おまけのひとこと>
 ひさびさにいい天気の朝です。






7月8日(水) クラインの壷とメビウスの帯(その3)

 クラインの壷を2つに分割すると対称なメビウスの帯が2本になる、というのを紙模型で示してみようという話をご紹介しています。昨日までで、2分割モデルの展開図の設計をして、実際に組み立ててみました。今日はメビウスの帯と比べてみます。

図 1

 最初にもう一度、クラインの壷の二分割モデルの写真です。これが、メビウスの帯の構造になっていることを示すために、正方形が連なった部分でメビウスの帯の構造になっているところを取り出して模型にしてみました。図1と同じ位置に置いてみた写真です(図2)。

図 2

 クラインの壷の半分とメビウスの帯を比べてみると、こんなふうになっています(図3)。

図 3

 わかりますか?

 この「メビウスの帯」の部分が、一昨日ご紹介した展開図の上ではどこに当たるのか、図示してみました(図4)。

図 4

 ちょっとみにくいですが、黒線がクラインの壷の展開図、青線がその二分割モデルの展開図です。そして赤で描いてあるのがメビウスの帯の部分になります。

 おまけとして、メビウスの帯の部分の展開図の図も載せておきます(図5)。

図 5

 いかがでしたでしょうか。私は実際に作ってみてとても面白かったです。

<おまけのひとこと>
 今朝はまた曇り空です。おかげで昨日撮った写真と今朝撮った写真とでは色合いが全然ちがいます。

 Ross Racineというartworkのページを知りました。パソコンを使って、手作業で航空写真風のモノクロの絵画を描いているサイトです。何か実際の写真からテクスチャを取り込んだりということは一切していないとコメントされています。とても興味深いページでした。






7月9日(木) ジョンソンの立体 J91 と正多面体による空間充填(その1)

 積み木インテリアギャラリーいたち丸の新作紹介の写真が更新されていて、「ジョンソン立体91番と正12面体と立方体による空間充填です。」と説明がありました。ジョンソン立体91番(以下、J91 と表記します) はおもしろい立体で、たとえば2003年9月11日のひとことなどでも模型を作ってご紹介していました。

 しかし、このかたちと正十二面体と立方体で空間充填が可能だとは全く気が付きませんでした。大変おもしろいですね。自分でも確認してみたくなって、JOVOブロックを使ってこの J91 作ってみることにしました。

図 1 図 2

 図1、図2はそれぞれ J91 を正方形の面、正五角形の面が床に接するように置いた写真です。 J91 は正五角形4面、正方形2面、正三角形8面から成ります。正三角形の面は、頂点構造が異なる2種類にわけられます。それぞれ4面ずつになります。

図 3 図 4

 この空間充填は、 J91 の長手方向が三次元空間の前後・左右・上下のそれぞれの方向になるように配置し、正方形の面が互いに直角に成るようにすることで実現できます。図3、図4はその立方体を囲む部分を見ています。

図 5 図 6

 図5、図6は、図3,4の反対側で、これは正十二面体を囲む部分を表します。

 この空間充填、非常に面白いです。「積み木インテリアギャラリーいたち丸」の中川さん、本当にありがとうございました。

<おまけのひとこと>
 最近、昔に比べて図を大きめにしています。

 今日は仕事の関係の飲み会があります。ここ2週間ほどで公私あわせて5回くらい飲み会があって大変です。






7月10日(金) トレインミュージックピアノ曲集

 昨日JOVOブロックの写真をご紹介した、中川宏さん考案のジョンソン立体91番(J91)と正十二面体・立方体の空間充填ですが、中川さんのサイト積み木インテリアギャラリーいたち丸の新作紹介の写真が昨日のものとは変わっていました。昨日はJ91 が3つつながった写真でしたが、今日のものは立方体と正十二面体が加わっています。私もCG化しようと思っていたのですが、昨日は飲み会で遅くなってしまって、時間がありませんでした。

 ということで今日はちょっと別な話題を。

 昨夜は終電で帰ったのですが(といっても田舎なので、終電は夜10時台です)、帰宅すると机の上にこんな楽譜が置かれていました。

図 1

 CD付きで、聴いてみたら面白かったそうです。ぺらぺらとページをめくってみると、よく知っている曲が並んでいて、譜面を読んでいて楽しいです。

JR-SH1 JR-SH5

 もともとが数小節しかないので、部分的な引用も難しいのですが、たくさんある中から2曲ほど、冒頭部分の楽譜をご紹介します。

 チェンバロで弾いてもおもしろいかなと思いました。(時間がなくてやってみていませんが)

<おまけのひとこと>
 今日は時間がなくて簡単な更新です。






7月11日(土) 文鳥

 11日(土)はアンサンブルの練習に行っていたのですが、その途中で、飼っている2羽の文鳥のうちの一羽が巣の中で冷たくなっている、というメールを妻からもらってショックを受けました。

 我が家の文鳥たちは、2004年の12月に、まだ生まれて間もない雛鳥をお店で買ったものです。そのときはいわゆる文鳥らしい色をした桜文鳥を一羽いただこうと思ってお店に行ったのですが、少し足の悪い白文鳥がいて、お店の方がお金はいいのでこの白文鳥もいっしょに飼って欲しいと言われて、二羽いただいてきました。

 今回死んでしまったのは桜文鳥のほうでした。桜文鳥のほうが気が強くて、たとえば水を替えてやっても先に水を飲むのも水を浴びるのも必ず桜文鳥が先でしたし、鳥かごの中に巣を取り付けてやっても、桜文鳥は巣が自分だけのものにしておきたくて、白文鳥を入れてやりませんでした。ときどき、止まり木の上で互いにつつきあって相手を突き落とすようなけんかをするのですが、桜文鳥が負けることはありませんでした。

 ところが今考えると、ここ数日は桜文鳥のほうが負けるのを見かけることがあって、珍しいなと思っていたのです。ただ、水を飲んだり餌を食べたりは普通にしているように見えました。最期も、自分の一番のお気に入りの場所である巣の中で目を閉じてまるく座り込んだままおだやかに眠っているようだったようです。

 文鳥の寿命は平均で7〜8年だそうです。4年半というのはいかにも残念ですが、事故とか病気とかではなく、これが天寿だったのだろうと思っています。

 家族が庭にお墓を作って、そこに花を買ってきて植えていました。その一角がとてもきれいで、それがまた切ない感じでした。

<おまけのひとこと>
 生き物を飼うと、こういうことは必ず経験します。つらい経験ですが、子どもたちにとって、こういう経験ができることは価値があると思っています。






7月12日(日) 文鳥

 今は鳥かごの中には白文鳥が一羽だけいます。もともと文鳥は気が強い鳥で、けんかをするので一羽ずつかごにいれたほうがよい、と書かれている本もありますが、雛のときから二羽をずっと一緒に飼ってきたので、たまにけんかもしますが、おなじかごでずっと飼ってきました。

 二羽の性格はぜんぜん違っていて、ひとことで言うと、死んでしまった桜文鳥は「内弁慶」、白文鳥のほうが「賢い」鳥でした。二羽いるころは、桜文鳥の声のほうが大きくて目立っていたのですが、一羽だけになってしまって、実はこの鳥も大きな声も出せるのだなと思いました。異変を感じるのか、たとえば私が鳥かごのそばを通りかかると大きな声で呼びかけてきます。鳥かごの脇に座ると、かごの中で人に一番近いところに来て、何か訴えています。私が鳥かごのある部屋(リビングです)から出てゆくと、大きな声で呼んでいます。

 いずれ落ち着くでしょうけれども、改めてさびしくなったなと思っています。

<おまけのひとこと>
 ジョンソンの多面体の91番の空間充填のCGを作ってみようとしているのですが、なかなかうまくいきません。

 『数学文化』の原稿の校正をしました。






7月13日(月) ずらし短冊9本組木(その1)

 しばらく前にご紹介していた、ずらし短冊六本組木の3方向の本数を1本ずつ増やしたものを作ってみました。今日は写真のみのご紹介です。

図 1 図 2 図 3

 図1は対称性の高い方向から見たところ、図2は一般的な視点方向、図3は筒を覗き込んだところです。

図 4

 九本と六本のものを比べてみました。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 今週も忙しいです。






7月14日(火) ずらし短冊9本組木(その2)

 昨日に続いて、ずらし短冊9本組木のご紹介です。写真の構成は昨日と全く同じですが、ずらし六本組木同様、いわば「鋭角型」と「鈍角型」ができるので、今日は鈍角型のほうのご紹介です。

図 1 図 2 図 3

 図1は対称性の高い方向から見たところ、図2は一般的な視点方向、図3は筒を覗き込んだところです。

図 4

 同じく、九本と六本のものを比べてみました。

 この九本組は、それぞれの方向の3枚のうち、2枚にはさまれたまんなかのパーツが3方向1本ずつ、外側の2枚×3方向の6本の2種類のパーツで作ってあります。昨日の鋭角型と本日の鈍角型は、全く同じパーツの組み換えでつくることができます。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 昨日のは蛍光灯の照明の下で撮った写真で、今日のものは朝の光で撮った写真です。感じが違ってしまいました。

 気が付くと7月も中旬です。






7月15日(水) ずらし短冊六本組木を別の素材で

 このところご紹介している「ずらし短冊組木」を、紙の筒以外の素材で作ってみたくなって、100円shopの工作材料のコーナーで買ってきた厚さ10mmの素材をカッターで切ってパーツを作ってみました。

図 1

 こういうものを加工する技術がないので、切り口がきれいでない、不ぞろいなものになってしまいました。パーツは、図1のマス目を見ていただくとわかりますが、1cm×2cm×6cmです。

図 2

 ちなみに切り出しはこんな風にしています。(パーツの位置関係は正確ではありません。)

 このパーツから、以下の図3,4のような組み方(鈍角型ずらし短冊六本組木)と、図5,6のような組み方(鋭角型ずらし短冊六本組木)ができます。

図 3 図 4

図 5 図 6

 写真がうまく撮れずに苦労しました。

 これは素材のやわらかさを利用して変形させないと組めません。紙の筒モデルで組むのとはまた違った面白さがありました。ただ、この素材からパーツを切り出すのは、大変な上にきれいに切り出せなくて気に入らないので、この素材で別なものを作ろうという気持ちにはなっていません。

<おまけのひとこと>
 『数学文化』第11号に「谷山豊 歿後50周年」の特集がありましたが、今月の数学セミナーにも「続・日本の数学者のふるさと17:谷山豊」という1ページの記事があって、谷山豊と婚約者だった鈴木美佐子の墓の写真が紹介されています。埼玉の鴻巣にあるというこのお寺を訪ねてみたくなりました。






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