以前の「ひとこと」 ： 2003年7月後半
7月16日(水) キューブ型ビーズ(その1)
久々にビーズ多面体を１つご紹介します。
しばらく前に、立方体のかたちのビーズを店頭で見かけました。ビーズの穴は立方体の対角線のところに1本だけ通っています。ビーズ多面体は基本的には稜モデルになるのですが、この形のビーズで面白い立体というと、店頭ではちょっとよいアイディアが浮かばなかったので購入を見送りました。
しばらくして、ふと作りたいものを思いついたのでお店に買いに行って作ってみたのが下の写真です。どんなかたちなのかお分かりになりますでしょうか？
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| 図 1 | 図 2 | 図 3 | 図 4 |
もちろん4枚の写真はいずれも同じビーズ多面体を別な向きから撮ったものです。
7月18日付記：過去のひとことのページに移動するときに、＜おまけのひとこと＞を間違えて消してしまいました。失敗失敗。
7月17日(木) キューブ型ビーズ(その2):CG
昨日ご紹介したキューブ型ビーズを使ったモデルをCGで作ってみました。
図1は全体の形がわかりやすいように、白い不透明な素材にしてみたものです。このように、立方体4つを2×2に並べたものを6面分用意して、それで大きな立方体を組んだかたちになっています。ちゃんとビーズの穴もあけてあります。大きな立方体の各面の中央に穴があいて見えるのは、それぞれのビーズ（単位立方体）の穴が集まっているためです。 図2は、同じ物を本物のビーズに似せて透明な素材にしてみたものです。画像を見てもなんだかよくわからないと思いますが、下に写った影を見ていただくと、ビーズの穴の部分が若干濃い影になっているのがごらんいただけるかと思います。
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| 図 1 | 図 2 | 図 3 | 図 4 |
図3は、このビーズの穴に赤い管を通してみたものです。といっても屈折率の関係で、よく見えないですね。そこでビーズを消して赤い管だけにしてみました(図4)。 これは菱形十二面体です。
昨日のビーズの写真をご覧いただいて、白い手芸用ゴムにご注目いただくと、菱形十二面体が見える…でしょうか。本物を手にとって見るとわかりやすいのですが、写真だとわかりにくいですね。
＜おまけのひとこと＞
カウンタが5万になったら何かイベントを考えようかなと思っていたのですが、なんとなく8月くらいかなと予想していたら、気が付いたらもう5万ですね。驚きました。いつもご覧下さっている皆様に本当に感謝しています。
今回は、普段はファイルサイズの関係で載せられないコンピュータグラフィックスの動画像とか大きな非圧縮の静止画像などを8cmのCD-Rか何かに入れたものを差し上げようか、それともそういったCGを絵葉書にする、もしくはペーパークラフトの型紙を印刷したものを絵葉書として送ろうか、などとぼんやり考えていました（これなら送料が安く済みそうなので）。でも準備をする時間がとれません。それにこんなものではご希望があるかどうかもわからないし。
もしもカウンタが5万ぴったりの方(もしくは前後賞の方）で、上記の品物に興味がある方がいらしたらご連絡ください。
7月18日(金) チューブパズル(その1)：結び目
いつも見せていただいている茉莉花の部屋の7月17日の日記に、チューブパズルというブロックで組んだ三葉結び目が掲載されていました。実は私もこのブロックを持っているのですが、恥ずかしながら結び目を作るということを思いついていませんでした。（自分のページのバナーに図案化しているというのに…）
というわけで早速、私もチューブパズルで結び目を作ってみることにしました。このブロックは角の部分は90度のものしかありませんから、角材で組むのと同じ理屈になります。 角材による結び目というと、濱中さんのcubic lattice knot(figure 8 knot)というページが思い出されます。さっそくこのページを見て作ったのが図1です。
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| 図 1 |
このブロック、実は意外と扱いにくいのです。はめた時の長さのばらつきがあったり、直角が甘かったり、このようにループを作ると中の空気の逃げ場がなくなってきちっとはまりにくかったりします。部分的にきっちりはめてしまうと、かみ合わせの長さのばらつきのせいで合わなくなってしまったりするので、緩めにして組んでいくのですが、そうすると途中がはずれやすくて大変です。今回の8の字結び目も、形を整えるのに意外と苦労しました。（しかも写真を見るとしっかり歪んでいるし…）
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| 図 2 | 図 3 |
遅ればせながら私も一応「三葉結び目」も載せておきます。
＜おまけのひとこと＞
昨日の朝、一昨日（16日）のひとことを新しく「過去のひとこと 7月後半」のページを作ってコピーしたときに、急いでいたため間違えて＜おまけのひとこと＞をまるごとコピーし損ねました。ご指摘ありがとうございました。確か、本（洋書）を買うときに、通販（Amazon）だと安いんだけれども、たとえ高くても現物が見られる本屋さんで買いたいという話の続きで、「本屋さんで見て、それをAmazonで安く買う」という買い方をする知り合いの話を書いたと思います。このあたりの話はまた改めて書きましょう。
7月14日のひとことで、リーピング・リザードというパズルを買った話を書きましたが、昨夜帰宅したら、下の子が「問題40問全部できたよ！」と報告してくれました。最初の初級レベルの問題なら、でたらめに動かしていてもできるでしょうけれど、最後のエキスパートレベルの31番以降、特に最後の数問は、かなり先読みをしたり、パターンが理解できたりしないと解けないはずです。驚きました。「すごい！ じゃ40番やってみせて」と頼んで、勘違いのルール違反の動きなどがないか確認してみましたが、ちゃんと正しくできていました。
7月19日(土) チューブパズル(その2)：リング
チューブパズルというブロックで遊ぶ話の続きです。
チューブパズルというのは、筒状のパーツにオスメスがあって、それを繋いで形を作るものです。直線のパーツ、Ｌ字型（鉤型）のパーツ、Ｔ字型のパーツ、十字型のパーツの4種類があります。これらを順にIパーツ、Lパーツ、Tパーツ、Xパーツと呼ぶことにします。いずれも角度は直角ですから、これらのパーツで曲げられる角度は必ず90度です。TパーツはTの横棒の両端がメスで縦棒がオスのものしかありませんし、Xパーツはオスどうし、メスどうしが互いに向き合ったパターンのものしかありません。
このパーツ構成では、素直に考えると、立体的で対称性の高いきれいなパターンを作ろうとすると、立方格子に沿った形状のものしかできないような気がするのですが、実はそんなことはなくて、使える角度が直角だけであっても、おもしろい形をつくることもできます。今日はその一例として、簡単なリング（輪っか）を作ってみました。
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| 図 1 |
図1は、Tパーツを4色×3個組み合わせたものです。Tの横棒に次のTの縦棒を繋ぐという操作をつぎつぎと行っていって、最後のTの横棒に、最初のTの縦棒をはめます。Tの余ったほうの横棒のジョイントに、同じ色のIパーツをはめてあります。 有機化学のシクロヘキサン(cyclohexane)の椅子型(chair form)と船型(boat form)の変形を思い出します。
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| 図 2 |
図2は、Xパーツを4色×4個組み合わせたものです。なんとなく王冠のような形です。
今日ご紹介した２つの写真は、TパーツとXパーツで作るリングの例ですが、余計な枝（手）を伸ばさくてもよければ、基本的にはこれはLパーツだけでリングを組むことができます。Lパーツを繋いだものは、このようになめらかに角度を変えることができます。このLパーツを繋いだものをユニットとして、面白いものが作れそうです。
＜おまけのひとこと＞
全国の多くの小中学校では、今日から夏休みなのだそうですね。私の住む地域ではまだ来週も何日か学校があるようです。
一応今日から三連休です。行事などもあって、完全に休める日は少ないのですが、それでも最近はちょっと疲れ気味なので休んでおこうと思っています。といいつつせっかくのお休みで時間がもったいなくて、いつもより遅いとはいえ、みんなが寝ているうちに起き出していろいろやっています。
さっき下の子が起きてきて、助手を申し出てくれたので、チューブパズルで作ってほしいものをリクエストしました。 見かけは簡単そう、でもこのパズルが（なにせ100円ですから）精度が低いため、実際に作業するとかなり厄介でいらいらするようなものを頼んでしまったのですが、熱心に作ってくれています。
7月20日(日) チューブパズル(その3)：多面体モデル
精度が低いとか、パーツの種類が少なすぎるとか文句を言いつつも、すっかりはまってしまったチューブパズルのご紹介の3回目です。今日は昨日の続きで、L字型のパーツを連結してぐにゃぐにゃと曲げたものを使って、多面体が何か組めないかと思って挑戦したものをご紹介します。
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| 図 1 |
さてこのかたち、どんな構造なのかお分かりになりますでしょうか？ 赤・青・黄・緑の4色で、それぞれ（ぐにゃぐにゃの）輪っかを作って、それが互いに2回ずつ、ちょうど反対側で交差しながら一回りしているという模型です。
…と、この説明ですぐにおわかりになる方もいらっしゃると思いますが、これは立方八面体の稜モデルになっています。例えば、02年7月18日のひとことで、正六角形の輪を４つ組んだ立方八面体をご紹介していますが、これと同じ理屈です。 といっても今日の図1を見ても立方八面体には見えない、ですね。
それぞれの色の「輪」は、「かすがい」のようなコの字型が６つ繋がった形をしています。緑の輪がちょうど全体が見えており、赤・青・黄色の三角形が中央に見えています。
このモデルは、写真で見るとわけがわからないかもしれませんが、本物はとても印象的で不思議な美しさがある、と思っています。ただ、これを組むのはとても厄介で、組んでいる最中に、すぐにどこかが外れてしまって、なかなか完成しませんでした。出来上がってからのかたちの調整もとても厄介で、写真の状態ではまだあまり対称性が高くありません。 このモデルは一般的な視点から見たところのほうが見栄えがよいのですが、それだと模型の構造がさらにわかりにくいので、今回はこの写真のみとしました。
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| 図 2 |
図2は、子供たちが喜んで作っていた「鎖」です。なぜ緑色を使っていないかというと、一昨日ご紹介した「8の字結び目」で、緑のLパーツをたくさん使ってしまったためです。あの結び目はもったいなくて分解していなかったのでした。
＜おまけのひとこと＞
「チューブパズル」というキーワードで検索してみても、唯一出てくるのはここ数日の私のページだけでした。 ということは、少なくともこのパズルでの作品を公開しているのは、茉莉花の部屋の茉莉花さんと私くらいなのかな、と思っています。
その茉莉花の部屋ですけれども、本日の日記にも、チューブパズルの作品が5つほど公開されていました。（でも今日でオシマイだそうで、残念です。） 一番上の、「＋と＋の組み合わせ」と書かれたモデルは私もすでに作っていました。 多面体ファンがこのブロックを手にしたら、おそらく辿り着く１つのゴールなのかなあと思いました。 私としては、この作り方を思いついたときはとても嬉しくて、これが作れただけでもこのチューブパズルをたくさん買ってよかったと思っています。（その変化形を、明日か明後日くらいに載せます。）
私が差し上げた、三角形を作れるかどうか検討した写真も掲載してくださってありがとうございました。 例えば昨年の9月14日のひとことで、LaQブロックを使った正十二面体をご紹介していますが、これは本来まっすく連結するブロックをたくさん繋げると、ジョイントの若干の角度の「あそび」を蓄積させることで、全体としてある角度を持たせることができることを利用して作ってあります。 同じ原理をこの「チューブパズル」に適用できないかな、やるとしたらどのくらいの数をつなげたらいいのかな、ということを実験したときに撮った写真でした。
残念ながらこの手法は「チューブパズル」には向いていないようだというのが結論でした。が、茉莉花さんが昨日の日記に「意地でも△!」と書かれていたので、やっぱり多面体ファンとしては同じことを考えるなと思って、写真を差し上げたのでした。
7月21日(月) 海の日 チューブパズル(その4)：おもちゃ等
チューブパズルというブロックで作れるもののご紹介の続きです。ふと思いついて、オモチャを作ってみたのでご紹介します。
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| 図 1 | 図 2 | 図 3 |
図1が全体図です。はしごが1本とそれを斜めに支える貧弱な足が2本、そしてはしごを転がり下りる羽根車のようなものが１つです。図2、図3はこの羽根車を転がり落としているところを、少し遅いシャッタースピードで撮影したものです。
かなりラフなつくりなのですが、意外ときれいに転がって面白いです。下の子が喜んで遊んでくれました。この写真の撮影も手伝ってくれて、私がカメラを構えて焦点を合わせて待機しているところへ、羽根車を転げ落としてカメラの視野外へよける係、というのをやってくれました。
この系は、剛体の力学の演習問題になりそうです。羽根車の羽根の長さ・パイプの太さと質量（ここから回転モーメントが求まる）、はしごの間隔と横棒の太さと角度から、止まってしまわずに回転しつづける条件を計算できるはずです。
今の高校の物理では、剛体の力学はやらない、物体は回転しないんだそうですね。なんでも「てこの原理」を小学校でやった後は、大学に入るまで回転モーメントの話は出てこないとか。 とってもおもしろいのにかわいそうですね。
ちょっとした小物もいくつも作ってみています。
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| 図 4 | 図 5 |
図4は「ボロメオの輪」のつもりです。ボロメオの輪というのは、３つ（以上）の輪のうちのどの２つに注目してみても、その２つが鎖のようには噛み合ってはおらず分離できるのですが、でも全体としては絡み合っているような構造です。
図5は、先日もちょっとお話した、L字型パーツを使ったリングです。これは2色8個の輪の例ですが、数や色を変えて、さらにかたちもいろいろ変形してみるととても楽しいです。
＜おまけのひとこと＞
三連休初日の一昨日の夕方、子供たちに1,000ピース（25×40ピース、72cm×49cm）のジグソーパズルを出してやりました。こちらの芳岡秀起という方のダウンタウン キティという作品のジグソーパズルです。
ご覧の通り割と細かいイラストなので、1,000ピースといっても１つのピースをじっと眺めているとそのピースがどの部分なのかがわかることが多いため、とても楽しんでやってくれました。
ある程度の手がかりがないと繋がっていかないので、まあ半分以上は私がはめたのですが、それでも初日と昨日の2日間、それぞれ夕方の2〜3時間だけで、驚いたことに完成してしまいました。色ごとにパーツを分類したり、部分的に完成させてくれたり、後半は私が手出しをしなくてもどんどんピースをはめてくれて、予想以上に戦力になってくれて驚きました。
7月22日(火) チューブパズル(その5)：捩れ立方体
しつこくチューブパズルのご紹介のつづきです。今日は「捩れ立方体」をご紹介します。捩れ立方体というのは、下の参考図のように、立方体の6つの正方形の面を回転させながら広げ、その間を正三角形でつないだようなかたちをしています。
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| 参考図 |
この参考図は、02年8月29日のひとことで用いた図で、紙製のジオシェイプスのようなパーツを設計して組んだものです。この正方形に相当する部分をチューブパズルで作って、それを捩って拡張したようなかたちにつなげれば、それっぽい構造になるはずだと思いました。 ということで作ってみたのが以下の写真です。
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| 図 1 | 図 2 | 図 3 |
図1が一般的な視点から見たところ、図2が3回回転対称軸方向から見たところ、そして図3が4回回転対称軸方向から見たところです。「ねじっている」感覚がおわかりいただけますでしょうか？
おまけに、普通の正方形のループが３つ直交する模型を作ってみたものを載せます。この「チューブパズル」で作れる多面体系の作品としては、一番自然で素直なものだと思います。
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| 図 4 |
実はこれが、このチューブパズルを購入して一番最初に作ったかたちです。
＜おまけのひとこと＞
すみません、あと2回ほど「チューブパズル」の話を書いて、それでこのシリーズは一旦おしまいにしたいと思います。
「あそびをせんとや」にリンクしてくださっているToday' s Information!というページの一番下に、ねこと暮らした日々という新しいページが追加されていました。猫と暮らしたことのある方にはお勧めです。
7月23日(水) チューブパズル(その6)：立方体
チューブパズルのご紹介のつづきです。（あと2〜3日だけ続けます。）今日は基本的な造形である立方体の写真を載せます。
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| 図 1 | 図 2 |
上の写真は、各面に帯をタテヨコ2本ずつかけたような立方体の半分の構造です。各面は4色になります。この写真を撮った段階では、他のモデルにパーツを使っていたため、ここまでしか組めませんでした。この構造は、小菱形立方八面体（斜方立方八面体）の稜モデルだ、と言い張ることもできそうです。
昨日載せた立方体より一回り小さい、単位立方体とでも言うような構造を作ってみました。
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| 図 3 |
これは、この「あそびをせんとや」でフレームキューブという勝手な名称で呼んでいたブロックに、出来上がりの形が似ています。（本当はチェーンリアクションというそうです。） ということは、チェーンリアクションの単位キューブと同じく、独楽のように回せるはず、と思ってまわしてみたのが下の図4の写真です。
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| 図 4 |
もやもやしてわけのわからない写真になってしまいましたが、図3の立方体の、黄色いL字型パーツを軸に回転しています。このキューブを組んで、独楽のように回転させて遊ぶのは思いのほか楽しいです。今まで組んだモデル（のうち壊れてもいいもの）を端から回してみています。
＜おまけのひとこと＞
チェーンリアクションを久々に出してみたのですが、子供の手にはやはり大きいようで、うまくできなくていらいらしていました。
7月24日(木) チューブパズルとチェーンリアクション
昨日、チューブパズルでキューブを作ってまわしてみましたが、チェーンリアクションと同じように連結してみることにしました。
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| 図 1 | 図 2 |
図1は、先日下の子が助手を申し出てくれたときに頼んで作ってもらった単色のキューブです。これをチューブパズルで作るのは、もちろんチェーンリアクションで作るよりは簡単ですけれども、でもチューブパズルも差し込んで落ち着く長さのばらつきが大きかったりするので、おそらくご想像いただくほど簡単ではありません。かなり根気が必要です。最初はちょっと手伝ってやる必要がありましたが、だんだんひとりで組めるようになりました。
図2はそれを３つ繋いでみたところです。かなりきれいな構造だと思います。このように連結して組むのは、単に１つを組むよりも厄介です。
比較のために、チェーンリアクションの写真も載せておきます。以前の写真はサイズが小さかったので、大きなサイズのものを載せなおします。
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| 図 3 | 図 4 | 図 5 |
図3が単色の単位キューブ、図4は3色の単位キューブを回転させたところ、図4は3色の単位キューブを３つ連結したところです。
昨年の2月17日のひとことで、いつもご紹介しているH.Hamanaka very private pateの濱中さんから、ひらがな4文字の「さかさ文字」の画像をいただいたものをご紹介しました。そのとき（その前日の2月16日)にも書きましたが、私はScott Kimの影響を受けてアルファベットバージョンはいろいろ作ってみたことがあったので、いつかお礼にお返しを…と思っていました。
先日、ある画像を作ってみたので、昨夜メールで濱中さんに差し上げたところ、なんとその後わずか2〜3時間で、美しいCGにしてくださいました。H.Hamanaka very private pateの表紙をぜひご覧下さい。
＜おまけのひとこと＞
昨夜の雨はものすごかったです。
7月25日(金) 直角を組み合わせたリング
このところずっとご紹介しているチューブパズル、あいかわらずそのあたりに転がしておいて、ちょっと時間があるといじってみています。 最近は、ぐっとシンプルに直角のパーツだけを使って環状に組んだ単純なリングのかたちについていろいろ考えてみています。
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| 図 1 |
図1は四員環、六員環、八員環です。（○員環という呼び方は、有機化学の言い方を借りています。）偶数のリングはこのようにきれいな対称性のあるかたちにしてやることができます。
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| 図 2 |
図2は、先日も書いた六員環で言うところの「椅子型(chair form)」と「船型(boat form)」です。四員環の場合はほかのかたちにはできませんが、六員環は対称性の高い形として、複数のかたちがあります。
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| 図 3 |
六員環、七員環、八員環です。（八員環は先日も写真を載せました。）この七員環は鏡像対称面を持っていますが、7は素数なので、あまり対称性の高い構造にはできません。おそらく、任意の員数の環は、この七員環のように最低でも鏡像対称にはできると思います。（そもそも任意の員数の環ができるということも、本当は自明ではないですね。偶数だったら簡単に示せそうですが。）
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| 図 4 |
八員環の、比較的対称性の高いいくつかのかたちです。こんな風に「輪っか」を作って、そのかたちをいろいろ変えていじっているだけでなんとなく楽しいです。
図3と図4の一番左側のかたちをご覧いただくとわかるように、任意の偶数の環は、立方格子に乗ることができます。（幅が１の、ジグザグの屏風のような形を考えればよいです。） では、直角パーツ奇数個の環は、立方格子に沿ったかたちにすることはできるでしょうか？ またその理由は？
上の図2に載せた、「椅子型」の六員環ですが、これを平面上で鎖のように組み合わせることができます。
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| 図 5 | 図 6 |
机の上で引っ張ってみてもはずれません。これも環の員数を変えて、鎖を分岐させたり2次元的なパターンにしてみたりしても面白いかも、と思っています。
＜おまけのひとこと＞
H.Hamanaka very private pateの濱中さんの表紙に、折り紙のバラの花が載っていました。たいへん美しいです。（おそらく、折り紙の世界では有名な「カワサキ・ローズ」ではないかと思います。）
昨日の表紙の画像は、過去の表紙60にアニメーションとともに簡単な解説が書かれていました。私の差し上げた素材をすばらしく仕上げてくださって、嬉しく思っています。
忙しいこともあって、なかなかチューブパズルから離れられませんが、今週末あたりから別の話題に変わる予定です。
そういえば、昨日のチェーンリアクションというブロックについて、
・http://www.spacecubes.com/
・http://www.hyperblob.cys.com.br/uk.html
というページを濱中さんから教えていただきました。ありがとうございました。うーむ、難しそうなかたちが載っています。作ってみるか・・・
7月26日(土) 直角を組み合わせたリング(その2) : 他
直角なパーツを繋げてリングを作って、そのかたちについて考える2回目です。昨日はユニットの数が偶数のものについて考えましたが、3の倍数、４の倍数の系列についてもちょっと考えてみました。
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| 図 1 | 図 2 |
まず3の倍数ということで、図1が9個の例、図2が12個の例です。3個だと輪が閉じません。6個ならば、昨日の六員環の「舟型」が3個ずつの平面が折れ曲がった形をしていました。図2の大きな十字型は、平面構造で、立方格子に乗っています。
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| 図 2 | 図 3 |
続いて4の倍数の例ということで、12員環です。図3は、4個一組になったもの3つで輪ができています。これも立方格子に乗っています。
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← 変換可能? |
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| 図 2 | 図 4 |
図2と図4は同じ形なのですが、どの色のパーツが内側になっているかが違います。例えば図2、図3、図4のかたちは、図3は色遣いこそ違うものの、いずれも同じ12個のパーツのリングです。さて、これはパーツをはずさないで互いに変形できるのでしょうか？ 例えば六員環ならば無理そうですが、N員環のNが大きくなってゆくと、だんだん変形は容易になるような気がします。（すみません、これは答がわからなくて単なる疑問として書いています。）
これをいじっていたら、「スネークキューブ」（マジックスネーク）というパズルを思い出しました。ただ、あれは端点が離れていましたけれども。
先日、フラットヘッドのスキャナのフィルムスキャナ機能を試させてもらう機会がありました。ディジタルカメラではない、フィルム式のカメラで撮ったネガフィルムから画像をコンピュータに取り込めるのですが、それでいくつか取り込んでみた中に、友人とバウムクーヘンを焼いてみたときの写真があったので、載せてみたいと思います。
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卵と牛乳と小麦粉と砂糖というごく普通の材料で作ったと思います。ベーキングパウダー等は使わず、スポンジケーキやバターケーキの原理で膨らませるわけでもないので、ずっしりとした密度の高いケーキになったような記憶があります。
経験者にはおわかりいただけると思いますが、このように細かく多層構造にするには、とても手間がかかりました。
＜おまけのひとこと＞
一昨日、上の子が学校から「夏休み帳」をもらってきたのですが、「今日中に全部やる」と勝手に宣言して、全部やってしまったようです。（まあそれが可能なくらい薄くて少ないのですが。）でもちょっと目を通してみたら、けっこうウソを書いていて、直すように言いました。
私も昔、例えば土曜日に週末の宿題が出されると、帰宅してお昼ご飯を食べる前にそれをやってしまうのが好きでした。
チューブパズルの関連の話は、とりあえずこれでおしまいにします。さて明日からは何を書こうかな・・・
7月27日(日) “Proof of THE BOOK”
先日、八重洲ブックセンターに行ったときに、Proofs from THE BOOKという本を買ってきました。この本の存在は知らなかったのですが、ぺらぺらとページをめくっていたら、中身がある程度初等的で（＝私にも理解できそうで）かつとても面白そうだったので、つい買ってしまいました。
中でも「これは！」と思ったのが下の絵です。Analysisの章の扉絵になっていたものです。 実はこれを見てこの本が欲しくなりました。 これが何を表した絵なのか、ちょっと解説は面倒なので書きませんが、「ヒルベルト,ホテル」で検索すると、いろいろ出てくると思います。（例えばこちらなど。）
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| "Hilbert's seaside resort hotel" |
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M.Aigner, G.M.Ziegler "Proofs from THE BOOK" 2nd Edition (2001) Springer p.85 より引用 |
なお、検索してみたら「天書の証明」というタイトルで、日本語版も出ているのですね。知りませんでした。 また、いろいろ検索していた中で、こんな日記のページに辿り着きました。このページも面白かったです。
いつも見せていただいてるパズル工房「葉樹林」の7月16日の日記に掲載されていた、カバヤの食玩の知恵の輪「ワイズリング」(こちらのページのの上から4番目)を見かけたので買ってみました。
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| UFO、プラネット、シェイクハンド |
お店には全部揃っていたようなのですが、気に入った上の３つ（8，9，10番）を買いました。台紙にしているカッターマットの1cm方眼を見ていただくとおわかりいただけるように、わりと大きくてしっかりしたつくりです。
＜おまけのひとこと＞
“THE BOOK”という概念、そしてそれを「天書」と訳す訳語に感心しています。今日のひとことはまったくもって説明不足ですが、すみません、今日は忙しくて…
7月28日(月) “リーピング・リザード” を解くプログラム
すみません、更新を一日お休みしてしまいました。今日(29日)は2日分まとめて更新です。
7月14日のひとことで、“リーピング・リザード”というパズルを買ったことを書きました。 先日、ちょっと雑念を頭から払いのけたくて、このパズルを解くプログラムを作ってみました。 プログラミングというのはそれ自体がパズルのような楽しさがあって、没頭するとほかの事を考えなくて済みますし、達成感もあります。
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| 図 1 |
予定通り無事1時間弱でプログラムが出来たので、今度は解ける問題をしらみつぶしで調べることにしました。 最近のパソコンは速いので、明らかに解がないとわかるようなもの（例えば単連結でないようなもの）をプログラムで判断して除外するような工夫をするよりも、力技で解かせてしまうことにしました。 コーディングの手間を最小にして、出来るだけ楽をしようという算段です。
図1を見てわかるように、マスどうしを繋ぐ「道」は、全部で15本あります。（6個のうち2個を選ぶ組み合わせの数です。） ということは、対称性などを無視すれば、15本それぞれの道が「ある」か「ない」かの全ての組み合わせは、2の15乗ということになります。もちろんこの中には、道が1本も無いマスがあるようなパターンもたくさんあるわけですが、そんなものもプログラムに解かせてみて「解なし」と判断させてしまうことにしました。
2の15乗というと、16ビット整数（C言語なら、今だとshort型が16bitの環境が多いでしょうか）でちょうどおさまりますので、ループカウンタを2の15乗マイナス1（32767）までまわして、カウンタの各ビットを利用して、マスを繋ぐ道の有無を決めるという方式で全ての盤面を生成することにしました。また、駒（リザード）の初期位置は、駒5個の順列ですから120通りあります。このうち1つはゴールのパターンですからそれを除いた119通り全てについて、各盤面に駒を配置して解かせることにしました。
当然、対称なものはもちろん、トポロジカルに同じ盤面というのはたくさん出てくるはずですが、とりあえずそれは気にしないことにして、手数が20を越えるものを全て出力させてみたら、23640通り出てきました。その中からプログラムの出力例を適当に２つ選んだものを載せてみます。
0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 InitPos: 0 1 2 3 5 4 level=25 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 InitPos: 0 3 2 4 1 5 level=22 |
最初の 0/1 の6×6がマス同士を繋ぐ道があるかどうかを表し、InitPos:のところに書かれているのが、この盤面への駒の初期配置を表します。最後の level=25 とか 22 とかいうのが、駒を動かす手数です。こういったテキストが3MB以上になりました。
ちなみに、プログラムが間違っていなければ、この“リーピング・リザード”というパズルにおける最大手数の問題は34手であるということがわかりました。製品に付属している40問の問題には、34手かかるものはなかったと思います。手数のかかる問題は、5個の駒のうち、3個はすでにゴールの場所に居て、2個だけが入れ替わっているというパターンがけっこうあります。これは、2個を入れ替えるために、すでに正しい位置にある駒を一旦よけてやる必要があるため、余計に手間がかかるのです。
＜おまけのひとこと＞
コーディング時間は合わせて1時間半くらい、実際に「しらみつぶし」で調べ上げるのに、PentiumIII 600MHz のノートPC で、1〜2時間くらいかかったでしょうか。いつプログラムを実行開始したか、いつ終わったかきちんとチェックしていなかったのでわからないのですが。
いわゆる、「エレガントなプログラムならぬエレファントなプログラム」ですが、二百数十行程度のちょっとしたプログラムです。解くほうに関しては、興味がある方がいらしたら、メールをいただければソースを差し上げられます。
7月29日(火) “リーピング・リザード” オリジナル問題
昨日のひとことでご紹介した、計算機に「しらみつぶし」で調べてもらった“リーピング・リザード”の20手以上かかる問題から、適当にいくつかをピックアップして盤面を作ってみています(図1)。 ５つほど載せてみましたが、これは左から順番に手数が24手、25手、26手、28手、29手かかる問題です。
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| 図 1 |
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| 図 2 | 図 3 |
下の子がいくつか挑戦してくれましたが、かなり苦戦していました。もうちょっと易しい問題も作ってやろうかな。
＜おまけのひとこと＞
H.Hamanaka very private pageの表紙の画像の下のひとことに「砂山にトンネルを通すと あんなに楽しいのはなんでだろう？」と書かれていました。（今朝見たらもう変わっていましたけれども。）それを見て、数年前、初めて回転レンズ式のディジタルカメラを使ったときに撮った写真を思い出しました。
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回転レンズ式だと、ファインダーを覗き込む従来のカメラとは全然違ったアングルでの撮影が出来て、とても面白かったものです。この写真も、かなり低いアングルで撮っています。
7月30日(水) “リーピング・リザード” 盤面の構造
7月14日に書いた、“リーピング・リザード” というパズルの話の続きです。 せっかくこのパズルの全問題探索プログラムを作ったので、その結果をちょっと眺めてみました。 まず、それぞれの盤面では、6個のマスを結ぶ「道」は、全部で15本のうちの何本かを使っているわけですが、20手以上かかるものはその道が何本あるか、チェックしてみました。基本的に道が少ないほど動きが制限されるわけですから、道が多くなれば手数は少なくて済むはずです。ところが、少なすぎたら今度は動けなくなってしまいます。そこで少ないほうから考えてみることにします。
まず、各マスには道は最低2本はあるはずです。 道が0本だったらそのマスには出入りできませんし、1本だとしたら、仮にそのマスから駒が出られても、そのマスに入れるのは今出たばかりの同じ駒しかありません。空きマスは常に１つしかありませんから、結局1本しか道が繋がっていないマスには、0本の場合と同様に他の駒は入れないのです。
ということは、6マス全てが最低2本ずつの道があるということになります。1本の道の両側にマスがありますから、この場合は道は6本ということになります。ところが道6本で６つのマスを繋ぐと、ちょうどネックレスのようにぐるっと円周上に並ぶことになって、これでは駒の位置を入れ替えることは出来なくて、単に同じ順番のままぐるぐると回ることしかできません。
というわけで次に来るのが道が7本の場合です。おそらくこれが最も手数の長い問題になるだろうと予想されます。
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| 図 1 | 図 2 | 図 3 |
さて、ここで問題です。昨日ちょっとご紹介したサンプルの5つの問題（下図：再掲）は、それぞれ図1〜図3のどれと「つながり具合」が同じでしょうか？
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さらにもう1つ問題です。図1〜図3の道のパターンはそれぞれ、5つの駒の初期配置がどのような場合でも必ず解けるでしょうか、それとも、ある初期配置からは決して解けないという初期配置を持つパターンでしょうか？
＜おまけのひとこと＞
すいません、(つづく) になってしまいました。
子供の学校が夏休みに入って、いろいろ行事が続いています。28日(月)には夕方5時から8時まで、クラスのイベントとして、「カレー会」というのが学校の中庭でありました。手分けして材料を持ち寄って、火をおこして実際にカレーを作って食べるというものでした。
今日は合唱コンクールで、今日に向けて毎日午前中は学校に練習に通っていたようです。小さな小学校なのでメンバーが19人という小規模な合唱のようです。先生の数も少ない学校なのですが、金管の練習も合唱の練習も熱心にやっていただいて、ありがたいと思っています。
7月31日(木) “リーピング・リザード” ルール拡張
ここ数日、“リーピング・リザード” というパズルの話をしています。このパズルは、6つのマスが何本かの「道」でつながっているという盤面になっています。駒は5つあって、同じマスには１つの駒しか入れません。そこで、この道と1つだけある空きマスを利用して5つの駒を動かして、5つ全てが指定されたマスにおさまれば成功、というものです。
今日は、ちょっとルールを拡張（変形）して、道は必ず一方通行という条件にしてみたらどうなるだろう？ ということを考えてみました。 このパズルの問題を解くプログラムを作ったという話をしましたが、その中で道のつながり具合を表現している6×6の行列を使っています。従来ルールではこの行列が対称行列でした。つまりマスAからマスBに移動できるときは必ずマスBからマスAにも移動できるため、行列の要素(A,B)と(B,A)は必ず同じでした。
この条件を変えて、(A,B)が1（＝移動可）ならば、(B,A)は必ずゼロ(＝移動不可）としてみました。もちろんこれは逆は成り立たなくて、「どっちもゼロ」ということもあります。（でないと必ず道があることになってしまう。） この条件で例によって適当に問題を生成させてプログラムに解かせてみたら、山ほど問題が出来てきました。さっそく適当に問題を選んで図にしてみました。
５つの大きな色つきの楕円のマスが、5色の駒それぞれのゴールを表し、楕円マスに重なっている小さな色つきの円が、その色の駒の初期配置マスを表します。白い二重丸のマスは、初期状態では空きマスです。矢印に従って駒を動かすことで、5色の駒を自分の色のマスに入れれば成功です。
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| 図 1 | 図 2 |
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| 図 3 | 図 4 |
例えば、図1と図2は2本の矢印の向きだけが違う盤面の例です。（駒の初期配置は違っています。） また、図2と図3は道が一本あるかないかだけが違う盤面です。図3と図4は、矢印1箇所の向きが違うのと、位置が1箇所違うだけです。
双方向の道も作ってもよかったのですが、盤面の図が煩雑になるので一方通行の道だけにしてみましたがいかがでしょうか？ この4つの問題は、一応手数が少ない順に並べてありますが、手数が少ないから易しいというわけでもないと思います。
＜おまけのひとこと＞
7月も終わりです。はやいですね。
このパズルも、空きマスが１つだけなので、パズルで遊ぶプログラムを作ると、移動させたい駒をクリックするだけで移動指定が出来てとても楽そうです。でも盤面の矢印を描かせるのはちょっと厄介かな。画像ファイルとして保持するとプログラムとしては簡単ですが、そうすると盤面ごとの画像を用意する必要があって、それもやっぱり大変です。そのうち気が向いたら作るかもしれません。