神経衰弱（その２）
前回（神経衰弱（その１））の続きです。
注：(2001.12.19)： ここで書いた議論には疑問があります。加筆修正しようかとも思ったのですが、そのまま残します。修正内容に関しては神経衰弱（その３）をご覧下さい。
さて今度は神経衰弱を二人でプレイすることを考えて見ましょう。このとき、先手と後手とどっちが有利でしょうか？ ちょっと考えてみましょう。今回の考察でも理想的な場合、つまり一度開かれたカードは参加者全員が正しく記憶している と仮定します。皆様どっちが有利だと思いますか？ 先手でしょうか、後手でしょうか、それとも同じでしょうか？
一応ルールを復習しておきます。
- カードは同じ種類のものが２枚ずつＮ種類、全部でＮ組で２Ｎ枚。トランプなら２６組５２枚。 ただしトランプの場合は本当は１３種類４枚ずつですが、今回は単純のためＮ種類２Ｎ枚とします。
- カードは全て伏せて区別がつかないようにします。
- 自分の手番のとき、任意の２枚を開きます。その２枚が同じ種類ならばその２枚が自分のものになり、 続けて２枚開けます。開いた２枚が異なる種類であったらその２枚を同じ場所に再び伏せて、自分の手番は終わりです。
- これをプレーヤーが順番に繰り返し、伏せたカードがなくなるまで続けます。
- 伏せたカードがなくなったとき、自分のカードが多い人が勝ちです。
まず、カードが２枚、つまり１組しかない場合。これは先手必勝に決まっています。あたりまえですね、 先手の人がその２枚を開けて、それが同じカードなのでそれを取ってゲーム終了です。自明です。
次。カードが２組、４枚の場合。この場合はどうでしょう？ もし最初に先手が開いた２枚が同じカードなら、 残る２枚も同じカードなので先手が２組全てを取って勝ち。後手の出番はありません。
逆に、先手が開いた２枚が違うカードだったらどうでしょう？ 後手が、まだ開かれていないカードを１枚開ければ、 そのカードは必ず先手が開けたカードのどちらかと同じです。ですから後手は４枚全部取れるということになります。
じゃあ最初に先手が開ける２枚が同じカードになる確率はというと、これは３分の１です。（４枚のカードから２枚を選び出す 組み合わせは６通り、そのうち同じカードであるのは２通りですから、2/6 = 1/3 です。）ですから先手が勝つ確率が３分の１、 後手が勝つ確率が３分の２なのです。
言葉で書いていくととっても鬱陶しいですね。ということで詳しく書くのは止めますが、次に３組６枚ならば先手が勝つ確率が 7/15、後手が勝つ確率が8/15で、これもやっぱり後手の方が有利です。以下、カードが増えて行くと 先手と後手の確率は近づいて行きます。（４組８枚とか偶数組になると、「引き分け」も考慮する必要が出てきます。）
どうやら神経衰弱というゲームは、カードの枚数がそこそこならば、手番が遅いほうが有利なようです。 前の人が開けたカードが偶然揃ったという場合はその分リードされて不利になりますが、偶然揃う確率は とても低い。で、揃わなかった場合は、自分は新たに２枚のカードの情報を得ることができるわけです。
・・・という話を会社で昼休みにしていたら、
「未知のカードが残り４枚になったときに手番が自分だったら不利、ということは、既知のカードをわざわざ開けて手番を相手に渡すのが最適戦略なのではないか。だとすれば千日手になるのでは？」
という指摘がありました。実はこの指摘は誤っているのですが、一瞬、これまで書いてきた論理が破綻するかと思ってとてもあせりました。
付記：(2001.12.14)： 実はここで書いた議論には疑問があります。くわしくは神経衰弱（その３）をご覧下さい。
○ ○ ○ さて、これはあくまでも一度開かれたカードは参加者全員が正しく記憶している場合の話です。 実際にはカードが増えてくるとそういうわけにもいきませんので、現実は手番による有利・不利というのはほとんどない、 という結論でよいでしょう。あたりまえの結論に落ち着きましたが、カードが少ないほど後手のほうが有利になるというのは覚えていてもよいかもしれません。
注：パズルのお好きな方、電車の中等で暇なとき一般解（カードがN組あったときの先手・後手の勝率） を考えてみませんか？ 実は私もまだうまく一般解が書けていないんです。 引き分けがなければけっこう簡単な漸化式になりそうなんですけど・・・。